Y contar historias en el aula también motiva a los chicos. El tema de sucesiones y progresiones de 3º de secundaria suele dar mucho juego. ¡Hay que aprovecharlo!
El inventor del ajedrez
Dicen y cuentan que hace ya mucho tiempo hubo un rey absorto y maravillado con el fascinante juego del ajedrez. Tan encantado estaba que ofreció a su inventor concederle lo que pidiera. “Sólo te pido 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente. En cada una el doble que la anterior hasta llegar a la última, la casilla número 64.”
Al rey le pareció algo insignificante y pensó que el inventor era muy humilde. Pero estaba muy equivocado.
¿A cuántos granos de trigo asciende la deuda que el rey contrajo con el inventor del ajedrez?
La sucesión sería esta:
Se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 2. Por tanto, el último término, que corresponde a la última casilla es 2 elevado a 63, es decir una cantidad gigantesca; la cantidad total la tienes aquí abajo. El rey no pudo conceder su promesa, al no haber suficiente trigo en toda la tierra para satisfacer los deseos del inventor del ajedrez.
Para que te hagas una idea, con tal cantidad de volumen de trigo, se podría cubrir toda la ciudad de Nueva York llegando a una altura de 1500 metros.
Las Torres de Hanoi
Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor. El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.
Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo ” Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo”.
El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es
Los primeros términos de esta sucesión son: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos? Nos harían falta
movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo).
Doblando papel. Una progresión asombrosa
Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuántas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.
Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?, El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a un dobles le corresponde 0,28 mm y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:
siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.
¿Puedes agarrar la calculadora y comprobar esto?
Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros)
Aquiles y la tortuga
Es posible que hayas oído hablar de esta paradoja, una de las más clásicas y famosas. La describía así el filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C.
“Aquiles, el atleta más veloz, corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado un trecho. Cuando Aquiles recorre ese tramo, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.”
Por supuesto, sabes que alcanzará a la tortuga. Pero, ¿cómo puedes desmontar el argumento de Zenón, que asegura que la tortuga siempre lleva alguna ventaja?
Esta es una forma: La tortuga tiene una ventaja de 100 metros. Imagina que Aquiles (lo conocerás por su talón) es capaz de correr los 100m en 10 segundos, y la tortuga es 10 veces más lenta que él.
Es decir,cuando Aquiles ha cubierto esos 100m, la tortuga se ha desplazado 10m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1m, Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0’1 m. Y así indefinidamente.
Parece una tontería, pero se tardaron 24 siglos en desvelar por completo esta paradoja, gracias a la Teoría de Límites. La suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.
En la tabla de arriba puedes ver que Aquiles, según las condiciones iniciales, tardará 11,111... segundos en alcanzar a la tortuga.
Las Torres de Hanoi
Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor. El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.
Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo ” Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo”.
El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es
Los primeros términos de esta sucesión son: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos? Nos harían falta
movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo).Doblando papel. Una progresión asombrosa
Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuántas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.
Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?, El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a un dobles le corresponde 0,28 mm y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:
siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.¿Puedes agarrar la calculadora y comprobar esto?
Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros)
Aquiles y la tortuga
Es posible que hayas oído hablar de esta paradoja, una de las más clásicas y famosas. La describía así el filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C.
“Aquiles, el atleta más veloz, corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado un trecho. Cuando Aquiles recorre ese tramo, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.”
Por supuesto, sabes que alcanzará a la tortuga. Pero, ¿cómo puedes desmontar el argumento de Zenón, que asegura que la tortuga siempre lleva alguna ventaja?
Esta es una forma: La tortuga tiene una ventaja de 100 metros. Imagina que Aquiles (lo conocerás por su talón) es capaz de correr los 100m en 10 segundos, y la tortuga es 10 veces más lenta que él.
Es decir,cuando Aquiles ha cubierto esos 100m, la tortuga se ha desplazado 10m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1m, Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0’1 m. Y así indefinidamente.
Parece una tontería, pero se tardaron 24 siglos en desvelar por completo esta paradoja, gracias a la Teoría de Límites. La suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.
Se trata de una progresión geométrica de razón 1/10. La suma de todos los infinitos tiempos es:
Acabas de ver que aunque la suma tenga infinitos sumandos, el resultado puede ser finito. Lo mismo que dividir 100 entre 9.
Acabas de ver que aunque la suma tenga infinitos sumandos, el resultado puede ser finito. Lo mismo que dividir 100 entre 9.
