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miércoles, 31 de mayo de 2017
31 de Mayo - Día del Matemático
La matemática te recuerda la forma invisible del alma; da luz a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; ilumina nuestras ideas intrínsecas; elimina el olvido y la ignorancia que nace con nosotros.
miércoles, 13 de abril de 2016
Progresiones geométricas sorprendentes
Siempre he pensado que es importante enlazar la historia de las matemáticas con su enseñanza, de tal forma que los alumnos puedan ver como han ido avanzando las matemáticas según las necesidades de la humanidad. ¿Cuándo se inventaron los números?, ¿cuando surgió el cero?, ¿y las funciones?, ¿podríamos vivir sin matemáticas?
“Sólo te pido 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente. En cada una el doble que la anterior hasta llegar a la última, la casilla número 64.”
Al rey le pareció algo insignificante y pensó que el inventor era muy humilde. Pero estaba muy equivocado.
¿A cuántos granos de trigo asciende la deuda que el rey contrajo con el inventor del ajedrez?
La sucesión sería esta:
Se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 2. Por tanto, el último término, que corresponde a la última casilla es 2 elevado a 63, es decir una cantidad gigantesca; la cantidad total la tienes aquí abajo. El rey no pudo conceder su promesa, al no haber suficiente trigo en toda la tierra para satisfacer los deseos del inventor del ajedrez.
Y contar historias en el aula también motiva a los chicos. El tema de sucesiones y progresiones de 3º de secundaria suele dar mucho juego. ¡Hay que aprovecharlo!
El inventor del ajedrez
Dicen y cuentan que hace ya mucho tiempo hubo un rey absorto y maravillado con el fascinante juego del ajedrez. Tan encantado estaba que ofreció a su inventor concederle lo que pidiera. “Sólo te pido 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente. En cada una el doble que la anterior hasta llegar a la última, la casilla número 64.”
Al rey le pareció algo insignificante y pensó que el inventor era muy humilde. Pero estaba muy equivocado.
¿A cuántos granos de trigo asciende la deuda que el rey contrajo con el inventor del ajedrez?
La sucesión sería esta:
Se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 2. Por tanto, el último término, que corresponde a la última casilla es 2 elevado a 63, es decir una cantidad gigantesca; la cantidad total la tienes aquí abajo. El rey no pudo conceder su promesa, al no haber suficiente trigo en toda la tierra para satisfacer los deseos del inventor del ajedrez.
Para que te hagas una idea, con tal cantidad de volumen de trigo, se podría cubrir toda la ciudad de Nueva York llegando a una altura de 1500 metros.
Las Torres de Hanoi
Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor. El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.
Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo ” Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo”.
El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es
Los primeros términos de esta sucesión son: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos? Nos harían falta
movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo).
Doblando papel. Una progresión asombrosa
Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuántas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.
Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?, El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a un dobles le corresponde 0,28 mm y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:
siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.
¿Puedes agarrar la calculadora y comprobar esto?
Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros)
Aquiles y la tortuga
Es posible que hayas oído hablar de esta paradoja, una de las más clásicas y famosas. La describía así el filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C.
“Aquiles, el atleta más veloz, corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado un trecho. Cuando Aquiles recorre ese tramo, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.”
Por supuesto, sabes que alcanzará a la tortuga. Pero, ¿cómo puedes desmontar el argumento de Zenón, que asegura que la tortuga siempre lleva alguna ventaja?
Esta es una forma: La tortuga tiene una ventaja de 100 metros. Imagina que Aquiles (lo conocerás por su talón) es capaz de correr los 100m en 10 segundos, y la tortuga es 10 veces más lenta que él.
Es decir,cuando Aquiles ha cubierto esos 100m, la tortuga se ha desplazado 10m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1m, Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0’1 m. Y así indefinidamente.
Parece una tontería, pero se tardaron 24 siglos en desvelar por completo esta paradoja, gracias a la Teoría de Límites. La suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.
En la tabla de arriba puedes ver que Aquiles, según las condiciones iniciales, tardará 11,111... segundos en alcanzar a la tortuga.
Las Torres de Hanoi
Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor. El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.
Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo ” Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo”.
El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es
Los primeros términos de esta sucesión son: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos? Nos harían falta
movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo).Doblando papel. Una progresión asombrosa
Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuántas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.
Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?, El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a un dobles le corresponde 0,28 mm y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:
siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.¿Puedes agarrar la calculadora y comprobar esto?
Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros)
Aquiles y la tortuga
Es posible que hayas oído hablar de esta paradoja, una de las más clásicas y famosas. La describía así el filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C.
“Aquiles, el atleta más veloz, corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado un trecho. Cuando Aquiles recorre ese tramo, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, ésta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.”
Por supuesto, sabes que alcanzará a la tortuga. Pero, ¿cómo puedes desmontar el argumento de Zenón, que asegura que la tortuga siempre lleva alguna ventaja?
Esta es una forma: La tortuga tiene una ventaja de 100 metros. Imagina que Aquiles (lo conocerás por su talón) es capaz de correr los 100m en 10 segundos, y la tortuga es 10 veces más lenta que él.
Es decir,cuando Aquiles ha cubierto esos 100m, la tortuga se ha desplazado 10m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1m, Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0’1 m. Y así indefinidamente.
Parece una tontería, pero se tardaron 24 siglos en desvelar por completo esta paradoja, gracias a la Teoría de Límites. La suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.
Se trata de una progresión geométrica de razón 1/10. La suma de todos los infinitos tiempos es:
Acabas de ver que aunque la suma tenga infinitos sumandos, el resultado puede ser finito. Lo mismo que dividir 100 entre 9.
Acabas de ver que aunque la suma tenga infinitos sumandos, el resultado puede ser finito. Lo mismo que dividir 100 entre 9.
domingo, 10 de abril de 2016
Cómo crecen las poblaciones?
Las variaciones producidas en el tamaño de una población están en función del índice de natalidad, del índice de mortalidad y del número de individuos que presenta la población original.
Los crecimientos en una población se producen cuando los nacimientos, sumados a la cantidad de inmigrantes, superan al número de muertes y de emigrantes.
El índice de natalidad y el de mortalidad pueden expresarse respectivamente como la cantidad de nacimiento y defunciones que se producen en un año por cada mil habitantes.
Para conocer el crecimiento de una población se recurre al índice de crecimiento calculado a partir de los índices de natalidad y mortalidad.
Si el tamaño de una población crece siempre al ritmo de un porcentaje fijo, dicho crecimiento es exponencial.
Esto ocurre cuando se agregan individuos a la población, o sea, cada vez que el índice de natalidad supera al de mortalidad de una manera constante durante cada período sucesivo, provocando un rápido crecimiento.
Para conocer el número de individuos que se suman a una población inicial después de transcurrido un año, se multiplica el indice de crecimiento r por la población inicial No.
El crecimiento exponencial tiene sus consecuencias: dado que a mayor población se produce una escasez de alimentos, aumentan las enfermedades y crece la tensión entre los habitantes.
Como resultado de esto, una población puede tener en un cierto periodo un crecimiento exponencial, pero a largo plazo el crecimiento entra en estado de equilibio.
Si se observan los datos de población de la tabla, llama la atención que la cantidad de personas en el mundo se haya solamente duplicado entre los años 1 y 1350 de nuestra era, ya que luego el ritmo de crecimiento fue mucho mayor. En el breve periodo que va entre los años 1959 y 1985 volvió a duplicarse. Este rápido aumento de la población en los últimos 300 años de la historia se debe a varias causas que interactúan y siguen potenciándose hasta nuestros días: avances en la producción de alimentos, cambios tecnológicos en gran escala (revolución industrial), mejoras en la prevención de enfermedades contagiosas, cambios de hábitos de las poblaciones urbanas valorizando la higiene, etc.
De hecho, los índices de natalidad no aumentaron significativamente, sino que las causas antes mencionadas contribuyeron de manera decisiva a disminuir los índices de mortalidad, y aumentar así la expectativa de vida de las personas. El índice de crecimiento poblacional es cada vez mayor; esto obedece a los cambios enunciados, que en un primer momento solo se dieron en Europa y con el correr del tiempo llegaron a otras regiones del mundo.
Los crecimientos en una población se producen cuando los nacimientos, sumados a la cantidad de inmigrantes, superan al número de muertes y de emigrantes.
El índice de natalidad y el de mortalidad pueden expresarse respectivamente como la cantidad de nacimiento y defunciones que se producen en un año por cada mil habitantes.
Para conocer el crecimiento de una población se recurre al índice de crecimiento calculado a partir de los índices de natalidad y mortalidad.
Si el tamaño de una población crece siempre al ritmo de un porcentaje fijo, dicho crecimiento es exponencial.
Esto ocurre cuando se agregan individuos a la población, o sea, cada vez que el índice de natalidad supera al de mortalidad de una manera constante durante cada período sucesivo, provocando un rápido crecimiento.
Para conocer el número de individuos que se suman a una población inicial después de transcurrido un año, se multiplica el indice de crecimiento r por la población inicial No.
El crecimiento exponencial tiene sus consecuencias: dado que a mayor población se produce una escasez de alimentos, aumentan las enfermedades y crece la tensión entre los habitantes.
Como resultado de esto, una población puede tener en un cierto periodo un crecimiento exponencial, pero a largo plazo el crecimiento entra en estado de equilibio.
Si se observan los datos de población de la tabla, llama la atención que la cantidad de personas en el mundo se haya solamente duplicado entre los años 1 y 1350 de nuestra era, ya que luego el ritmo de crecimiento fue mucho mayor. En el breve periodo que va entre los años 1959 y 1985 volvió a duplicarse. Este rápido aumento de la población en los últimos 300 años de la historia se debe a varias causas que interactúan y siguen potenciándose hasta nuestros días: avances en la producción de alimentos, cambios tecnológicos en gran escala (revolución industrial), mejoras en la prevención de enfermedades contagiosas, cambios de hábitos de las poblaciones urbanas valorizando la higiene, etc.
De hecho, los índices de natalidad no aumentaron significativamente, sino que las causas antes mencionadas contribuyeron de manera decisiva a disminuir los índices de mortalidad, y aumentar así la expectativa de vida de las personas. El índice de crecimiento poblacional es cada vez mayor; esto obedece a los cambios enunciados, que en un primer momento solo se dieron en Europa y con el correr del tiempo llegaron a otras regiones del mundo.
lunes, 21 de marzo de 2016
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Hoy hace 248 años que nació Joseph Fourier, ¡el de la transformada señores!
La transformada matemática es empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
jueves, 31 de diciembre de 2015
Las matemáticas del 2016
¿Qué sería de nuestras vidas si no existieran los números?
El despertador que no suena, el dinero que no existe, nada se puede medir ni contar, no hace falta ir a trabajar porque no ganarás nada. No habría celulares, ni computadoras, ni televisión, ni fútbol.
Nada.
Las matemáticas no lo son todo, pero están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida.
Un nuevo año comienza, y siempre es divertido analizar el número que nos gobernará a todos. Aunque siempre nos cuesta cambiar de año, sobre todo en las carpetas de clase (el 2015 tardará en desaparecer).
Entramos en un año bisiesto y olímpico. De esos tipos “raros” que pasan cada cuatro años y de los que siempre (al menos yo) nos acordamos. Recuerdos deportivos que dejan pinceladas de nuestra juventud. Me hago más mayor aunque siga siendo un niño (por suerte).
Febrero será más largo.
Y muy contentos se ponen los que celebran su cumpleaños cada cuatro años. Estos “afortunados”, siempre jóvenes, incluso han creado un club mundial de los bisiestos y celebran actividades el 29 de febrero.
¿Cómo es el número 2016, que sorpresas nos esconde?
En este artículo solo quiero hacerte partícipe de un simple pasatiempo. Veremos cómo es este precioso número de cuatro cifras y te darás cuenta de las curiosidades matemáticas que contiene en su interior.
En principio parece un número normalito y sencillo. Muy redondo, par y poco más, pero investigando un poco sobre las matemáticas del 2016 descubrimos esto …
Es un número triangular
¿Cómo? ¿Dónde se esconde el triángulo?
Los números triangulares son números figurados, es decir, aquellos números que pueden representarse mediante figuras geométricas “regulares”
Los primeros números triangulares son estos: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.
Un número triangular se puede obtener sumando números naturales consecutivos (10=1+2+3+4)
Asimismo 2016 es un número triangular porque 1+2+3+4+ …..+ 63 = 2016
También es un número hexagonal !! Ninguno de nosotros vivió en el último año hexagonal (1891), ni tampoco viviremos el siguiente (2145)
¿Cuántos apretones de manos habrá en un congreso o reunión de 64 personas?
Relacionado con lo anterior, y en el caso que todos lo hagan cordialmente, habrán 2016 saludos.
En este caso (como en muchos otros) haciendo dibujos y siguiendo el patrón matemático que se repite, encontraremos la solución.
Representaremos cada persona con un punto, y el saludo (apretón de manos) con un segmento. Pronto observamos que el total de saludos para 4 o más personas es la suma de los lados del polígono más las diagonales de dicho polígono. Y vemos que algo se repite …
Otra vez aquí, aparecen los números triangulares …
Efectivamente, has vuelto a adivinarlo! … 2016
Hay que recordar un poco de combinatoria para obtener este número. La manera de combinar 64 casillas en grupos de 2 es esta:
Algunas formas sencillas y atractivas de expresar el nuevo año
Con tres números sencillos y fáciles de recordar
Mediante números factoriales
Como resta de cuadrados
Como suma de cubos
Con el número de la bestia en su interior, o si lo prefieres con seises.
Y el más fácil de recordar …
Breve resumen de las matemáticas del 2016
Factorización: 2^5 · 3^2 · 7
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224,252, 288, 336, 504, 672, 1008, 2016
Número de divisores: 36
Primo anterior: 2011 Siguiente número primo: 2017
2016 en sistema binario: 11111100000
Muchas de estas expresiones las he visto en twitter, son de Antonio Roldán @Connumeros. Te recomiendo que te pases por su web hojamat.es
Si no te gusta este número por ser muy redondo, el próximo será tu año, porque 2017 es un número primo y dará mucho juego. Pero eso ya te lo contaré dentro de un año …
Te deseo un feliz y próspero año 2016 , repleto de salud y matemáticas!!
Es un número triangular
¿Cómo? ¿Dónde se esconde el triángulo?
Los números triangulares son números figurados, es decir, aquellos números que pueden representarse mediante figuras geométricas “regulares”
Los primeros números triangulares son estos: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.
Un número triangular se puede obtener sumando números naturales consecutivos (10=1+2+3+4)
Asimismo 2016 es un número triangular porque 1+2+3+4+ …..+ 63 = 2016
También es un número hexagonal !! Ninguno de nosotros vivió en el último año hexagonal (1891), ni tampoco viviremos el siguiente (2145)
¿Cuántos apretones de manos habrá en un congreso o reunión de 64 personas?
Relacionado con lo anterior, y en el caso que todos lo hagan cordialmente, habrán 2016 saludos.
En este caso (como en muchos otros) haciendo dibujos y siguiendo el patrón matemático que se repite, encontraremos la solución.
Representaremos cada persona con un punto, y el saludo (apretón de manos) con un segmento. Pronto observamos que el total de saludos para 4 o más personas es la suma de los lados del polígono más las diagonales de dicho polígono. Y vemos que algo se repite …
Otra vez aquí, aparecen los números triangulares …
Combinatoria y ajedrez
¿Cuál es el número de pares de casillas diferentes que se pueden elegir en un tablero de ajedrez?Efectivamente, has vuelto a adivinarlo! … 2016
Hay que recordar un poco de combinatoria para obtener este número. La manera de combinar 64 casillas en grupos de 2 es esta:
Algunas formas sencillas y atractivas de expresar el nuevo año
Con tres números sencillos y fáciles de recordar
Mediante números factoriales
Como resta de cuadrados
Como suma de cubos
Con el número de la bestia en su interior, o si lo prefieres con seises.
Y el más fácil de recordar …
Breve resumen de las matemáticas del 2016
Factorización: 2^5 · 3^2 · 7
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224,252, 288, 336, 504, 672, 1008, 2016
Número de divisores: 36
Primo anterior: 2011 Siguiente número primo: 2017
2016 en sistema binario: 11111100000
Muchas de estas expresiones las he visto en twitter, son de Antonio Roldán @Connumeros. Te recomiendo que te pases por su web hojamat.es
Si no te gusta este número por ser muy redondo, el próximo será tu año, porque 2017 es un número primo y dará mucho juego. Pero eso ya te lo contaré dentro de un año …
Te deseo un feliz y próspero año 2016 , repleto de salud y matemáticas!!
sábado, 5 de diciembre de 2015
Como enseñar matemáticas usando Lego
El constructor para niños Lego es un fenómeno. Tanto pequeños, como adultos con entusiasmo pasan sus ratos libres construyendo objetos distintos. Lego desarrolla la imaginación, la creatividad y el pensamiento lógico, incluso, se puede utilizar como un manual de aprendizaje.
La maestra escolar Alycia Zimmerman, por ejemplo, emplea las piezas del famoso Lego para enseñarles a los niños las bases de las matemáticas. Con ayuda del Lego se pueden enseñar operaciones sencillas y nociones básicas.
Fracciones y número entero
Fracciones
Elevar al cuadrado
Media aritmética
domingo, 4 de octubre de 2015
313... el Pato Donald... y eso del binario
El número 313 es el número de la matrícula del coche del Pato Donald
313 (base 10) =100111001 (base 2)
Y, además, el número 100111001 (en base 10) es también primo.
sábado, 3 de octubre de 2015
viernes, 2 de octubre de 2015
Sabías que...? sobre la sucesión de Fibonacci II
Para quienes no conozcan la sucesión de Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números 1 y 1, y a partir de ellos, cada término se obtiene sumando los dos anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Esta sucesión no tendría nada de particular sino fuera porque aparace repetidamente en la naturaleza y, además, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
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- Sabías que...? sobre la sucesión de Fibonacci
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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Esta sucesión no tendría nada de particular sino fuera porque aparace repetidamente en la naturaleza y, además, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
miércoles, 30 de septiembre de 2015
Fractal en 3D... Mandelbox 3D
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
La imagen anterior se corresponde a un mandelbox 3D. El siguiente vídeo es una animación del mismo realizando un viaje por su interior en un zoom continuo.
En matemáticas, el mandelbox es un fractal especial en forma de caja, resultado del análisis multifractal. Representa los puntos en el espacio que no se van al infinito bajo la acción de un conjunto de transformaciones geométricas. Se puede definir en cualquier número de dimensiones.
Disfruten del vídeo… es Matemática en estado puro
Posteo dedicado a Violeta Aguirre una gran amiga!!!
Posteo dedicado a Violeta Aguirre una gran amiga!!!
Qué es el número pi?
Es la relación que hay entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (en geometría euclidiana).
¿Qué hace especial al número π?
Un poco de historia sobre el número π…
¿Qué hace especial al número π?
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros (o, para que se entienda mejor, tiene infinitos números decimales y éstos no se repiten de forma cíclica en ningún momento), como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761.
También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho.
Un poco de historia sobre el número π…
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind (papiro que mide unos 6 metros de longitud por 32 cm de anchura, y que contiene diversos problemas matemáticos) donde se emplea un valor aproximado de π de 3,1609…
En el siglo III a. C., el matemático griego Arquímedes obtuvo una aproximación del valor de π, con un error entre el 0,024% y el 0,040% del valor real.
En la cultura científica existe una auténtica competición por conocer quién logra calcular más dígitos de π. Hoy día la pelea es indiscutiblemente japonesa, consecuencia de los métodos actuales de computación.
¿Cuántos decimales se ha conseguido calcular de π?
El último record lo tienen los informáticos Alexander Yee y Shigeru Kondo, que en 2011 consiguieron calcular 10 billones de decimales (10.000.000.000.000 decimales).
Hay gente con mucha memoria…
Bueno, pues ya sabemos un poco más sobre este número tan importante para las matemáticas y, como las matemáticas son importantes para todo, tan importante para nuestras vidas.
Para que te hagas una idea, si escribiéramos seguidos los 10 billones de decimales calculados por Yee y Kondo con una fuente típica, por ejemplo Times New Roman tamaño 12, el papel necesario para ello daría aproximadamente 50 vueltas a La Tierra.
Hay gente con mucha memoria…
Si bien el número de decimales de π es infinito, existen competiciones en donde los participantes deben recitar de memoria la mayor cantidad de decimales.
El 3 de octubre de 2006, el ingeniero japonés Akira Haraguchi logró recitar sin equivocarse los primeros 100 mil decimales de π en una maratón de 16 horas, interrumpido sólo por pausas de 10 minutos para ir al baño cada dos horas.
Su esfuerzo, si bien es reconocido como récord mundial, no está en el libro Guinness, cuyo récord pertenece al chino Lu Chao, quien contó 67.890 decimales en 24 horas.
Su esfuerzo, si bien es reconocido como récord mundial, no está en el libro Guinness, cuyo récord pertenece al chino Lu Chao, quien contó 67.890 decimales en 24 horas.
Casi nada, seguro que también se saben los teléfonos de todos sus amigos y familiares de memoria.
viernes, 14 de agosto de 2015
Fractal erupciones en el Sol
Para la constrccion de este fractal se utiliza la epresion expoencial de Z^[2-(75 + 2i)]
jueves, 13 de agosto de 2015
Mejora tus matemáticas jugando al ajedrez
Matemáticas y ajedrez, son un matrimonio duradero que ha coexistido desde el nacimiento del juego más impresionante que ha conocido la humanidad, del juego infinito por excelencia.
Matemáticas y ajedrez. Una estrecha relación
A lo largo de la historia el ajedrez ha llamado la atención de los matemáticos famosos.
Leonhard Euler, planteó y resolvió el problema del caballo (recorrer con el caballo todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por ninguna de ellas), mediante la construcción de un cuadrado mágico!
Otro de los grandes genios, el alemán Gauss se vio interesado en resolver el problema de las 8 damas. ¿Cuántas damas pueden estar en el tablero simultáneamente sin alcanzarse entre ellas? Y, ¿cuántas combinaciones de posición distintas de las mismas existen? Aunque parece un juego infinito, las posibilidades en ajedrez no son infinitas.
Pero para que te hagas una pequeña idea de la grandeza de este deporte: después de la segunda jugada, ya hay 197.742 partidas posibles. El número de partidas distintas que pueden jugarse es mayor que el número de átomos conocidos.
Grandes jugadores de ajedrez como Anderssen, Wilhelm Steinitz, Emanuel Lasker y Max Euwe, fueron también matemáticos.
Ajedrez en el aula
Forma parte del currículo en más de 30 países. En Islandia, Rusia y Venezuela, entre otros países, el ajedrez es una asignatura en todos los colegios públicos.
El ajedrez es un juego con componentes científicos, deportivos y artísticos. Realmente se trata de una gimnasia mental abierta a todos.
Muchos estudios confirman que el ajedrez es muy útil como herramienta pedagógica, para la formación intelectual y el desarrollo personal del alumno.
¿Qué ocurre cuando mueves las piezas?
Mover las piezas implica análisis, cálculo, evaluación y selección. Y otra cosa importante: capacidad de decisión. Además estimula la concentración, la memoria, el razonamiento y la creatividad, entre otros procesos mentales.
Buscar el jaque mate te ayudará a moldear la capacidad de afrontar y resolver problemas matemáticos.
El ajedrez mejora el rendimiento académico en matemática
Numeroso estudios concluyen que es posible desarrollar el pensamiento de los niños a través del ajedrez, incluso desde el jardín de infantes.
El ajedrez es un recurso pedagógico muy apropiado con el que puedes ayudar a una persona a que desarrolle habilidades mentales que le servirán para optimizar sus procesos de aprendizaje.
Está comprobado que el ajedrez desarrolla el arte de pensar. Y uno de los verbos que mejor define a las matemáticas es precisamente este: PENSAR.
Y enseñar a pensar, es muy bueno para el desarrollo intelectual y personal de los estudiantes. Y mucho mejor cuando tienes herramientas que te ayudan a dar una enseñanza basada en el pensamiento crítico y creativo.
¿Qué potencia el ajedrez?
Posiblemente la lista sea mucho más larga, pero para no aburrirte, es bueno que sepas que tu hijo puede desarrollar esto:
- Motivación
- Imaginación
- Autoestima
- Planificación
- Capacidad de cálculo
- Previsión de consecuencias
- Creatividad
- Paciencia
- Disciplina
- Atender varias cosas a la vez
A lo largo de la historia el ajedrez ha llamado la atención de los matemáticos famosos.
Leonhard Euler, planteó y resolvió el problema del caballo (recorrer con el caballo todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por ninguna de ellas), mediante la construcción de un cuadrado mágico!
Otro de los grandes genios, el alemán Gauss se vio interesado en resolver el problema de las 8 damas. ¿Cuántas damas pueden estar en el tablero simultáneamente sin alcanzarse entre ellas? Y, ¿cuántas combinaciones de posición distintas de las mismas existen? Aunque parece un juego infinito, las posibilidades en ajedrez no son infinitas.
Pero para que te hagas una pequeña idea de la grandeza de este deporte: después de la segunda jugada, ya hay 197.742 partidas posibles. El número de partidas distintas que pueden jugarse es mayor que el número de átomos conocidos.
Grandes jugadores de ajedrez como Anderssen, Wilhelm Steinitz, Emanuel Lasker y Max Euwe, fueron también matemáticos.
Ajedrez en el aula
Forma parte del currículo en más de 30 países. En Islandia, Rusia y Venezuela, entre otros países, el ajedrez es una asignatura en todos los colegios públicos.
El ajedrez es un juego con componentes científicos, deportivos y artísticos. Realmente se trata de una gimnasia mental abierta a todos.
Muchos estudios confirman que el ajedrez es muy útil como herramienta pedagógica, para la formación intelectual y el desarrollo personal del alumno.
¿Qué ocurre cuando mueves las piezas?
Mover las piezas implica análisis, cálculo, evaluación y selección. Y otra cosa importante: capacidad de decisión. Además estimula la concentración, la memoria, el razonamiento y la creatividad, entre otros procesos mentales.
Buscar el jaque mate te ayudará a moldear la capacidad de afrontar y resolver problemas matemáticos.
miércoles, 12 de agosto de 2015
Tutorial de Geogebra
Hace ya algún tiempo que quería hacer un pequeño tutorial de Geogebra, porque estoy convencido que este programa puede ayudarte en tu aprendizaje con las matemáticas.
Las matemáticas son serias, pero al mismo tiempo pueden ser divertidas. Creo que sobretodo influye mucho la manera en cómo las presentamos. Es importante que los ejemplos que usamos y los problemas que se presentan en clase capten el interés de los alumnos.
Cuando te interesas por algo, cuando quieres saber cómo se resuelve un problema, estás disfrutando de las matemáticas. Y esto es más fácil conseguirlo con Geogebra.
¿Qué es Geogebra?
¿Sabes por qué se llama así? Es la unión de dos palabra: GEOmetría y álGEBRA. Porque utiliza de forma magistral estas dos ramas de las matemáticas.
Geogebra es un programa de geometría dinámica. Es libre e interactivo. Principalmente permite trabajar la geometría, el álgebra y el cálculo.
Tienes una fuente abierta de este programa libre aquí.
¿Por qué es tan bueno?
Porque es fácil de usar y te permite "tocar" las matemáticas.
Es útil para enseñar y aprender en todos los niveles educativos.
Geogebra es un programa que te permitirá desde el primer momento hacer construcciones y resolver problemas de forma fácil, rápida y precisa; de la misma manera (y más rápido) que si lo hicieras sobre el papel con regla y compás.
El hecho de poder experimentar e interactuar con las construcciones te ayudará a reflexionar.
Y te preguntarás ¿y si...? Y hacerse preguntas es aprender.
Conceptos matemáticos
Prácticamente cualquier concepto matemático se puede explicar con este programa. La aparición de Geogebra 5.0 ha supuesto un mayor potencial en esta aplicación. Además en geometría y álgebra, ahora puedes entender mejor la geometría en tres dimensiones y aspectos de probabilidad.
A modo de ejemplo, te dejo este vídeo donde se explica utilizando esta aplicación la recta de Euler.
Demostraciones
Este programa te puede servir como soporte para entender una demostración matemática. Puedes explorar y descubrir "nuevas matemáticas". Es posible que así puedas trabajar de forma más independiente y con más motivación.
Aquí te dejo un ejemplo hecho con Geogebra del teorema más conocido en todo el mundo, el que NO descubrió Pitágoras.
¿Qué es Geogebra?
¿Sabes por qué se llama así? Es la unión de dos palabra: GEOmetría y álGEBRA. Porque utiliza de forma magistral estas dos ramas de las matemáticas.
Geogebra es un programa de geometría dinámica. Es libre e interactivo. Principalmente permite trabajar la geometría, el álgebra y el cálculo.
Tienes una fuente abierta de este programa libre aquí.
¿Por qué es tan bueno?
Porque es fácil de usar y te permite "tocar" las matemáticas.
Es útil para enseñar y aprender en todos los niveles educativos.
Geogebra es un programa que te permitirá desde el primer momento hacer construcciones y resolver problemas de forma fácil, rápida y precisa; de la misma manera (y más rápido) que si lo hicieras sobre el papel con regla y compás.
El hecho de poder experimentar e interactuar con las construcciones te ayudará a reflexionar.
Y te preguntarás ¿y si...? Y hacerse preguntas es aprender.
Conceptos matemáticos
Prácticamente cualquier concepto matemático se puede explicar con este programa. La aparición de Geogebra 5.0 ha supuesto un mayor potencial en esta aplicación. Además en geometría y álgebra, ahora puedes entender mejor la geometría en tres dimensiones y aspectos de probabilidad.
A modo de ejemplo, te dejo este vídeo donde se explica utilizando esta aplicación la recta de Euler.
Demostraciones
Este programa te puede servir como soporte para entender una demostración matemática. Puedes explorar y descubrir "nuevas matemáticas". Es posible que así puedas trabajar de forma más independiente y con más motivación.
Aquí te dejo un ejemplo hecho con Geogebra del teorema más conocido en todo el mundo, el que NO descubrió Pitágoras.
Si una cosa la entiendes, no tendrás que memorizarla. Esta aplicación aumentará tu creatividad, y hará que lo que aprendes sea más divertido.
Los profesores, tendrían que fomentar la creatividad por encima de todo.
Videotutorial de Geogebra
Si quieres ver a grandes rasgos cómo descargar el programa y cómo empezar a utilizar esta magnífica herramienta para aprender matemáticas, puedes ver este vídeo.
Únicamente se explica lo principal, después podrás comprobar que las posibilidades son enormes.
domingo, 9 de agosto de 2015
Hipotrocoide
Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.
La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).
Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.
sábado, 8 de agosto de 2015
Lemniscata de Bernoulli
En matemáticas la, en particular, lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas: 
y tiene sólo dos focos.
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a
, el símbolo del infinito, que es ampliamente utilizado en matemáticas.
La lemniscata fue descubierta, en 1694, por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse (curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos es una constante). En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".
y tiene sólo dos focos.La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a
, el símbolo del infinito, que es ampliamente utilizado en matemáticas.La lemniscata fue descubierta, en 1694, por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse (curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos es una constante). En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".
jueves, 6 de agosto de 2015
Criba de Eratóstenes
Un algoritmo que te permite encontrar todos los números primos menores que el número natural n
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