La conjetura de Goldbach

Se trata de un problema abierto de la teoría de números más antiguo en matemáticas. El autor que lo formuló fue Christian Goldbach, matemático prusiano de Königsberg en 1690. La formulación de la llamada conjetura de Goldbach se gestó en la correspondencia entre el propio Goldbach y su amigo, Leonhard Euler.

A veces se lo califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H. Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhage comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas.

Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742)

Fórmula de Euler para poliedros

Nos adentramos en una de las fórmulas matemáticas más bellas, la fórmula de Euler para poliedros. Espacio dedicado a cuestiones geométricas de objetos que son más o menos cotidianos, lo poliedros, como por ejemplo el cubo, la pirámide triangular o tetraedro, el dodecaedro (cuyas caras son pentágonos), el icosaedro truncado (que es la pelota de fútbol), etc. Aunque los nombres nos suenen a chino, sin embargo, son objetos que vemos en nuestro día a día.

El estudio de los poliedros es de de vital importancia no solamente para el estudio geométrico de los mismos, para la investigación matemática, sino también para sus aplicaciones en campos tan diversos como por ejemplo química, mineralogía, biología, ingeniería, arquitectura, diseño (industrial o de objetos cotidianos) o incluso en el arte.

Pi, la identidad de Euler y los dados matemáticos

Dados…seguro que has visto dados de todo tipo. Desde los habituales con seis caras y los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 hasta dados con menos caras o con otros números u otro tipo de inscripciones en ellas.

Y, cómo no, las matemáticas tienen mucho que decir a la hora de innovar en el mundo de los dados. El último ejemplo sobre esto del que he tenido constancia es el que nos presentaba Javier Omar en La Covacha Matemática hace unos días. Magníficas creaciones de Matt Chisholm en forma de dado cúbico cuyas caras llevan inscritos los siguientes números:

con los que, por ejemplo, podemos formar la identidad de Euler

o recrear una propiedad de

Identidad de Euler

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia. 

Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio.

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas.
Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a "z" como un complejo, "x" su parte real e "y" su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde "i" es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de -1,

Ahora, si tomo al famoso numero "e" y lo potencio con el número complejo "z",

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún.
Si hacemos que "x" valga 0 y que "y" tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

 

 

Ó, resulta lo mismo escribir,

Esta es la identidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y el número i.
Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una belleza infinita. Digna de un genio como Euler.