Los números inversos de Fibonacci

Divide 1 entre 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999, y mira lo que se obtiene:

¿Te has fijado en que los dígitos no nulos de la expresión decimal de este cociente son términos (en orden) de la sucesión de Fibonacci?

En la anterior tabla, los decimales están ordenados en bloques de 24 dígitos. Los últimos dígitos que aparecen en cada una de estos bloques son los términos de la serie de Fibonacci hasta el 116:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 43349443, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 7167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 1940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913, 16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219, 184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885.

Fíjate en las siguientes divisiones:

• 1/89 = 0,011235…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 1 número) aparecen los 6 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
• 1/9.899 = 0,0001010203050813213455…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 2 números) aparecen los 11 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
• 1/998.999 = 0,000001001002003005008013021034055089144233377610…, es decir, en la expresión decimal aparecen los 16 primeros números de la sucesión de Fibonacci.

Los números 89, 9.899, 998.999, etc. (y por supuesto, el número 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999), se llaman números inversos de Fibonacci.

Los términos de la sucesión de Fibonacci se definen usualmente como: f₀=0, f₁=1, y f_n+2=f_n+1+f_n (si n≥0). Pero también pueden definirse a través de la función generadora G(x)=x/(1-x-x²), que cuando se expande en potencias dex, posee como coeficientes los términos de la sucesión de Fibonacci:

Observa finalmente que:

• G(1/10)=10/89,
• G(1/100)=100/9899,
• G(1/1000)=1000/998999,
• y en general, G(1/10ⁿ)=10ⁿ/(10²ⁿ-10ⁿ-1).

Es decir, los números inversos de Fibonacci son justamente los de la forma

10²ⁿ–10ⁿ–1.

El divisor de la división propuesta al principio

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999 corresponde a n=16.

Visto en ZTFNews.org

Adictos a las redes sociales

Fuente: http://www.carlosnuel.com/wp-content/uploads/2013/05/infografia-adictos-a-las-redes1.jpg

Planeta web 2.0

Planeta web 2.0 from Federico Gabriel Gutierrez

Bibliografía

• Cobo Romaní, Cristóbal;Pardo Kuklinski,Hugo. 2007.Planeta Web 2.0. Inteligencia colectivao medios fast food. Grup de Recerca d'Interaccions Digitals,Universitat de Vic.Flacso México. Barcelona / México DF.

Problema de Haberdasher

Se trata de cortar un triángulo equilátero en cuatro piezas que formen también un cuadrado.
Fue propuesto por Henry Dudeney en 1902, y aquí está su solución, con las piezas unidas por el vértice que, a modo de bisagras, pueden girar para pasar de una figura a la otra.

Fuente: https://plus.google.com/u/0/+AdaGilIb%C3%A1%C3%B1ez/posts/CAKStmmebZH

Banda de Möbius

Es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

• Es una superficie que sólo posee una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

• Es una superficie no orientable:

Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

• Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

La Educación como práctica de la Libertad - Paulo Freire

En el Libro, Freire plantea la educación de las masas como el desafío fundamental de los países en desarrollo, una educación que, liberada de todos los rasgos alienantes, constituya una fuerza posibilitadora del cambio y sea impulso de libertad. Sólo en la educación puede nacer la verdadera sociedad humana y ningún hombre vive al margen de ella. Por consiguiente, la opción se da entre una pedagogía "para la domesticación" y una pedagogía "para la libertad", entre "educación para el hombre-objeto" y "una educación para el hombre-sujeto".

El autor considera que dentro de las condiciones históricas de la sociedad es indispensable una amplia concienciación de las masas a través de una educación que les permita reflexionar sobre su tiempo y su espacio. Está hondamente convencido de que la elevación del pensamiento del individuo, "que suele llamarse, apresuradamente, politización", comienza exactamente con esta autorreflexión que lo lleva a profundizar de su toma de conciencia y, sobre todo, a transformar su inserción en la historia, no ya como espectadores, sino como actor y autor.

Educación como práctica de la libertad - Paulo Freire from Federico Gabriel Gutierrez

Libros Digitales (Parte II)

Libros sobre Educación y TIC, investigaciones sobre el proceso de inclusión de TIC en la educación formal. Materiales didácticos, y acceso a aportes de calidad en el ámbito de la educación con tecnología.

Libros Digitales (Parte I)